Binomda sabit terim nasıl bulunur?

Binom Açılımında Sabit Terim: Çözüm Yolu Rehberi

Binom açılımlarında sabit terimi bulmak, aslında temel birkaç adıma dayanan sistematik bir işlemdir. Deneyimlerime göre, bu mantığı kavradığında soruların büyük çoğunluğunu rahatlıkla çözebilirsin.

Öncelikle, Binom Açılımı dediğimiz şey aslında (a + b)ⁿ gibi bir ifadenin açılımıdır. Burada a ve b birer terim, n ise kuvvetimizdir. Sabit terim dediğimiz şey ise, açılım sonucunda x⁰ gibi bir değişkene sahip olmayan kısımdır. Yani, elimizde (x + k/x)ⁿ gibi bir ifade varsa, bu açılımda x⁰'lı terim sabit terimimiz olacaktır.

Binom Açılımı Genel Formülü ve Sabit Terim Mantığı

Binom açılımının genel terimi şu şekildedir: T_k+1 = C(n, k) a^n-k b^k

Burada:

• n: Kuvvet
• k: Açılımdaki terimin sırasını belirleyen bir değişkendir (0'dan n'ye kadar değer alır).
• C(n, k): n'in k'lı kombinasyonu (n! / (k! * (n-k)!))
• a: Birinci terim
• b: İkinci terim

Sabit terimi bulmak için, bu genel formüldeki değişkenlerin kuvvetlerini eşitleyerek k değerini bulmamız gerekiyor. Eğer (x^p + c/x^q)ⁿ gibi bir açılımımız varsa, sabit terim için x'in kuvvetinin 0 olmasını sağlamalıyız.

Bu durumda, genel terimde a yerine x^p ve b yerine c/x^q yazarsak:

T_k+1 = C(n, k) (x^p)^n-k (c/x^q)^k

T_k+1 = C(n, k) x^p(n-k) c^k / x^qk

T_k+1 = C(n, k) c^k x^{p(n-k) - qk}

Sabit terim, x'in kuvveti 0 olduğunda elde edilir. Yani:

p(n-k) - qk = 0

Bu denklemden k'yı çekersek, sabit terimi veren k değerini bulmuş oluruz.

Örnekle Pekiştirelim

Diyelim ki (x + 2/x)⁶ açılımında sabit terimi bulmak istiyoruz. Burada:

• n = 6
• a = x (yani x¹)
• b = 2/x (yani 2 * x^-1)

Genel terimde x'in kuvvetini 0'a eşitleyeceğiz:

1 (6 - k) - 1 k = 0

6 - k - k = 0

6 - 2k = 0

2k = 6

k = 3

Şimdi bulduğumuz bu k=3 değerini genel terim formülüne yerleştirerek sabit terimi hesaplayalım:

T₃₊₁ = T₄ = C(6, 3) x^6-3 (2/x)³

T₄ = C(6, 3) x³ (8/x³)

T₄ = C(6, 3) * 8

Şimdi C(6, 3)'ü hesaplayalım:

C(6, 3) = 6! / (3! (6-3)!) = 6! / (3! 3!) = (6 5 4) / (3 2 1) = 20

O halde sabit terim:

T₄ = 20 * 8 = 160

Yani (x + 2/x)⁶ açılımında sabit terim 160'tır.

Pratik İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Kombinasyon Hesabı: C(n, k) hesaplamalarını doğru yapmak kritik. Özellikle k değeri n'den büyükse veya negatifse sabit terim olmaz.
• Kuvvetlerin Doğruluğu: x'in kuvvetlerini yazarken işaretlere dikkat et. Örneğin, 1/x² demek x^-2 demektir.
• Sıfır Kuvvet: Sabit terim, değişkenin kuvvetinin 0 olduğu durumdur. Bu prensibi asla unutma.
• k Değerinin Tamsayı Olması: Denklemden bulduğun k değeri mutlaka bir tamsayı olmalı ve 0 ile n arasında kalmalıdır. Eğer tamsayı değilse veya bu aralıkta değilse, o açılımda sabit terim yoktur.
• Çoklu Değişkenler: Eğer açılımda iki farklı değişken varsa (örneğin (x + y + z)ⁿ gibi), sabit terim için tüm değişkenlerin kuvvetinin sıfır olması gerekir ki bu da genellikle sadece sabitlerden oluşan bir ifadenin açılımında mümkündür. Genellikle karşına çıkan binom açılımları tek değişken içerir.