🗞️ Manisa Haber

Asal çarpanlarına ayırma nasıl olur?

14 Haziran 2025 Manisa Haber

Asal Çarpanlarına Ayırma: Sayıları Kökten Anlamak

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, aslında o sayının yapı taşlarını bulmak demektir. Tıpkı bir yapının tuğlalarını ayırmak gibi düşünebilirsin. Her sayının kendine özgü bir "parmak izi" vardır ve bu parmak izi, o sayıyı oluşturan asal sayılarla belirlenir. Bu, matematiksel problemleri çözmekten kriptografiye kadar birçok alanda karşımıza çıkar.

Deneyimlerime göre, bu konuyu öğrenmek matematikle olan ilişkini daha da güçlendirecektir. Neden mi? Çünkü temelini anladığında, daha karmaşık görünen konular bile aslında ne kadar basit olabileceğini göreceksin.

Asal Sayı Nedir?

Önce asal sayıları hatırlayalım. Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayılardır. En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır. Sonrasında 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 gibi sayılar gelir. 1, asal sayı değildir. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, o sayıdan küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakabilirsin. Örneğin, 17 asal mıdır? Kontrol edelim:

  • 17 / 2 = 8, kalan 1
  • 17 / 3 = 5, kalan 2
  • 17 / 5 = 3, kalan 2
  • 17 / 7 = 2, kalan 3
  • 17 / 11 = 1, kalan 6
  • 17 / 13 = 1, kalan 4

Karekökü 17'den küçük olan tek asal sayıya (yani 3'e) kadar kontrol etmemiz yeterlidir. 17, kendisinden küçük hiçbir asal sayıya tam bölünmediği için 17 asal bir sayıdır.

Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır ama en yaygın kullanılanı, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmektir.

Bölme Ağacı (Çarpanlara Ayırma Ağacı) Yöntemi:

Bu yöntem görsel olarak çok anlaşılır. Sayıyı üste yazıp, iki çarpanını aşağıya dallar halinde indiriyorsun. Eğer bir çarpan asal ise, o dalı orada durduruyorsun. Asal olmayanları ise tekrar dallandırıyorsun.

Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

  • 72'yi en küçük asal sayı olan 2'ye böl. Sonuç 36.
  • 36'yı tekrar 2'ye böl. Sonuç 18.
  • 18'i tekrar 2'ye böl. Sonuç 9.
  • 9 asal değildir. En küçük hangi asal sayıya bölünür? 3'e. 9 / 3 = 3.
  • 3 bir asal sayıdır.

Ağacı çizersek şöyle olur:

72
/ \
2 36
/ \
2 18
/ \
2 9
/ \
3 3

Bu durumda 72'nin asal çarpanları 2, 2, 2, 3 ve 3'tür. Yani 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 veya daha kısa gösterimiyle 72 = 2³ x 3² şeklinde yazabiliriz.

Sürekli Bölme Yöntemi:

Bu yöntem biraz daha pratiktir, özellikle büyük sayılarla uğraşırken. Sayıyı yazıp yanına bir çizgi çekiyorsun ve bölebildiğin en küçük asal sayıyı çizginin sağına yazıyorsun. Sonucu alta yazıp aynı işlemi tekrar ediyorsun.

Örnek: 96 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

96 | 2
32 | 2
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 |

Burada, çizginin sağında kalan tüm sayılar (2, 2, 2, 2, 2, 2) 96'nın asal çarpanlarıdır. Yani 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 veya 96 = 2⁶'dır.

Pratik İpuçları ve Kullanım Alanları

Asal çarpanlara ayırma sadece bir matematik egzersizi değil, aynı zamanda gerçek dünyada da işe yarayan bir beceridir.

  • Kesirleri Sadeleştirme: Bir kesrin hem payını hem de paydasını asal çarpanlarına ayırıp ortak olanları sadeleştirmek, en kolay ve doğru yoldur. Örneğin, 48/60 kesrini sadeleştirelim.
    • 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3
    • 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5

    Ortak çarpanlar 2² ve 3'tür. Bunları sadeleştirince 48/60 = (2⁴ x 3) / (2² x 3 x 5) = 2² / 5 = 4/5 kalır.

  • En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) Bulma: İki veya daha fazla sayının EBOB ve EKOK'unu bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemi olmazsa olmazdır. Sayıların asal çarpanlarını bulduktan sonra, EBOB için tüm ortak asal çarpanların en küçük üslü olanlarını çarparken, EKOK için tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını çarpıyoruz.
  • Karekök ve Küpkök Alma: Bir sayının karekökünü veya küpkökünü almak istediğinde, önce sayıyı asal çarpanlarına ayır. Eğer tüm asal çarpanların üsleri çift ise karekök kolayca alınır (her çarpanın üssünü ikiye böl). Üsleri üçerli gruplar halinde tam bölünüyorsa küpkökü alınır. Örneğin, 3600'ün karekökü.
    • 3600 = 36 x 100 = (2² x 3²) x (2² x 5²) = 2⁴ x 3² x 5²

    Her asal çarpanın üssü çift. Karekökü: 2⁴/² x 3²/² x 5²/² = 2² x 3¹ x 5¹ = 4 x 3 x 5 =

    1. Yani √3600 = 60.

Asal çarpanlara ayırma, sayıların ardındaki gizli düzeni anlamanın en temel yollarından biridir. Pratik yaparak bu becerini geliştirebilirsin. Unutma, her sayı bir asal sayı yolculuğunun sonucudur.