🗞️ Manisa Haber

Aralarında asal olan sayılar nasıl bulunur?

20 Haziran 2025 Manisa Haber

Aralarında Asal Sayıları Bulmak: Pratik Bir Rehber

Aralarında asal olmak, iki sayının 1'den başka ortak böleni olmaması demek. Bu kavram matematikte, özellikle sayı teorisinde temel bir yere sahip. Eğer sen de sayılarla haşır neşir oluyor, problemler çözüyorsan veya sadece merak ediyorsan, aralarında asal sayıları bulmanın inceliklerini öğrenmek işini çok kolaylaştıracaktır. Deneyimlerime göre, bu konuyu sağlam bir temele oturtmak, ileride karşılaşacağın pek çok matematiksel sorunu çözmek için sana altın bir anahtar sunar.

  1. Bölenleri Bulmak ve Karşılaştırmak: Temel Yöntem

En temel ve anlaşılır yöntem, iki sayının tüm bölenlerini tek tek bulup, bu bölenler arasında ortak olanları aramaktır. Elbette bu yöntem çok büyük sayılar için pratik olmasa da, küçük sayılarla mantığı kavramak için harika bir başlangıç noktasıdır.

  • Örnek 1: 12 ve 18 sayılarını ele alalım.
    • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    • 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

    Bu iki listenin kesişimine baktığımızda 1, 2, 3 ve 6'nın ortak bölenler olduğunu görüyoruz. En büyük ortak bölenleri 6'dır. Ortak bölenler sadece 1 olduğunda aralarında asal oluyorlar. Burada ortak bölenler 1'den fazla olduğu için 12 ve 18 aralarında asal değildir.

  • Örnek 2: 7 ve 15 sayılarını inceleyelim.
    • 7'nin bölenleri: 1, 7
    • 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15

    Bu durumda tek ortak bölenleri 1'dir. Bu yüzden 7 ve 15 aralarında asal sayılardır.

Bu yöntemde dikkat etmen gereken en önemli nokta, sayıların tüm bölenlerini eksiksiz bir şekilde bulabilmektir. Bunun için genellikle sayının kareköküne kadar olan sayıları deneyerek bölenleri bulabilirsin. Eğer bir sayı diğerini tam bölüyorsa, o zaman o sayılar aralarında asal olamazlar (eğer sayıların kendileri farklıysa).

  1. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ile Hızlı Çözüm

Deneyimlerime göre, aralarında asal olup olmadıklarını anlamanın en hızlı ve etkili yolu, sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmaktır. İki sayının EBOB'u 1 ise, o sayılar aralarında asaldır. EBOB'u bulmak için en sık kullanılan ve en pratik yöntemlerden biri Öklid Algoritması'dır.

  • Öklid Algoritması Nedir? İki sayının EBOB'unu bulmak için birbirine bölme işleminden yararlanır. Bölme işlemindeki kalan, bölünen ve bölen ile devam edilir. Son kalan 0 olduğunda, son bölen EBOB'dur.

Şimdi Öklid Algoritması ile birkaç örnek yapalım:

  • Örnek 1: 48 ve 18'in EBOB'unu bulalım.
    • 48 = 2 * 18 + 12
    • 18 = 1 * 12 + 6
    • 12 = 2 * 6 + 0

    Son kalan 0 olduğu için son bölen olan 6, 48 ve 18'in EBOB'udur. EBOB 1 olmadığı için 48 ve 18 aralarında asal değildir.

  • Örnek 2: 29 ve 12'nin EBOB'unu bulalım.
    • 29 = 2 * 12 + 5
    • 12 = 2 * 5 + 2
    • 5 = 2 * 2 + 1
    • 2 = 2 * 1 + 0

    Son kalan 0 olduğu için son bölen olan 1, 29 ve 12'nin EBOB'udur. EBOB 1 olduğuna göre 29 ve 12 aralarında asaldır.

Bu algoritma, özellikle daha büyük sayılarla uğraşırken hayat kurtarır. Pratik yapmak, algoritmayı zihninde canlandırmanı sağlar.

  1. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Detaylı Bakış

Bir diğer güvenilir yöntem ise sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. İki sayının asal çarpanları listelendiğinde, eğer bu listelerde ortak bir asal çarpan yoksa, o sayılar aralarında asaldır.

  • Örnek 1: 60 ve 21'i inceleyelim.
    • 60'ın asal çarpanları: 2, 2, 3, 5 (60 = 2² 3 5)
    • 21'in asal çarpanları: 3, 7 (21 = 3 * 7)

    Her iki sayının da ortak asal çarpanı 3'tür. Bu nedenle 60 ve 21 aralarında asal değildir.

  • Örnek 2: 35 ve 13'ü ele alalım.
    • 35'in asal çarpanları: 5, 7 (35 = 5 * 7)
    • 13'ün asal çarpanları: 13 (13 bir asal sayıdır)

    35 ve 13'ün ortak hiçbir asal çarpanı yoktur. Dolayısıyla 35 ve 13 aralarında asaldır.

Bu yöntemin avantajı, sayıların yapısını daha iyi anlamana yardımcı olmasıdır. Ancak, büyük sayıları asal çarpanlarına ayırmak zaman alıcı olabilir. Bu yüzden genellikle EBOB yöntemi daha pratiktir.

Pratik İpuçları ve Öneriler

  • Asal Sayılar Kendileriyle Aralarında Asaldır: Bir asal sayının kendisiyle EBOB'u kendisidir (örn: EBOB(7,7)=7). Bu yüzden asal bir sayının kendisiyle aralarında asal olduğunu söyleyemeyiz, ancak kendisinden farklı bir asal sayıyla her zaman aralarında asaldır.
  • Bir Sayı 1 ile Her Zaman Aralarında Asaldır: Çünkü 1'in tek böleni 1'dir ve her sayının da ortak böleni en azından 1'dir.
  • Birbirini Takip Eden İki Tam Sayı Her Zaman Aralarında Asaldır: Örneğin, n ve n+
    1. Bunu Öklid Algoritması ile kanıtlayabilirsin: n+1 = 1*n +
    2. Kalan 1 olduğu için EBOBleri her zaman 1 olacaktır. Bu çok önemli bir özelliktir ve birçok problemde işine yarar.
  • Büyük Sayılarla Karşılaştığında Panik Yapma: Hemen Öklid Algoritması'nı hatırla. Bu, sana zaman kazandıracak en güvenilir yoldur.

Bu yöntemleri pratik yaparak pekiştirdiğinde, aralarında asal sayıları bulma konusunda kendine fazlasıyla güveneceksin. Başarılar!