Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem nedir?
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Nedir?
Hayatımızda karşılaştığımız birçok problemde aslında bir denklem çözüyoruz farkında olmadan. İşte birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler de tam olarak bu noktada devreye giriyor. Yani iki tane bilinmeyeni olan ve bu bilinmeyenlerin de en yüksek üssünün 1 olduğu denklemlerden bahsediyoruz. Mesela 2x + 3y = 7 gibi. Burada x ve y bizim iki bilinmeyenimiz. x'in de y'nin de üssü
- İşte bu kadar basit.
Bu tür denklemler tek başlarına sonsuz çözüm üretebilir. Ne demek istiyorum? Diyelim ki 2x + 3y = 7 denkleminde x=2'yi seçtin. O zaman 2(2) + 3y = 7 olur, yani 4 + 3y = 7, 3y = 3 ve y=1 çıkar. Yani (2, 1) bir çözüm. Peki ya x=5 olsa? 2(5) + 3y = 7 olur, 10 + 3y = 7, 3y = -3 ve y=-1 çıkar. Yani (5, -1) de bir çözüm. Gördüğün gibi, bir bilinmeyene değer verdikçe diğerini bulabiliyorsun ve bu şekilde sonsuz çözüm kümesi elde ediliyor. İşte bu yüzden, tek bir denklemle belirli bir sonucu bulmak mümkün değil.
Peki, Çözüme Nasıl Ulaşırız?
İşte tam bu noktada, denklemleri bir araya getirme gereği duyuyoruz. İki bilinmeyenli bir denklem sisteminde, en az iki tane birinci dereceden denklem olması gerekiyor ki belirli bir çözüme ulaşabilelim. Bir başka deyişle, iki denklem, iki bilinmeyen durumu bizim işimizi görecektir. Bu iki denklemin ikisi de x ve y gibi iki bilinmeyeni barındıracak ve bu bilinmeyenlerin en yüksek üssü 1 olacak. Örneğin, şöyle bir sistem düşünebilirsin:
- Denklem 1: 2x + 3y = 7
- Denklem 2: x - y = 1
Deneyimlerime göre, bu sistemleri çözmek için en sık kullanılan iki yöntem var:
- Yerine Koyma Yöntemi
Bu yöntemde, denklemlerden birini seçip bilinmeyenlerden birini diğerine bağlı olarak ifade edersin. Sonra bu ifadeyi diğer denklemde yerine koyarsın. En basitinden, ikinci denklemden (x - y = 1) x'i yalnız bırakabilirsin: x = y +
- Şimdi bu ifadeyi ilk denklemde (2x + 3y = 7) x gördüğün yere yaz:
2(y + 1) + 3y = 7
Bu da parantezi açınca:
2y + 2 + 3y = 7
Terimleri birleştirirsek:
5y + 2 = 7
Şimdi y'yi bulmak için 2'yi karşıya atarız:
5y = 5
Ve y = 1 çıkar. Harika! Şimdi bulduğumuz y değerini ilk denklemde veya x = y + 1 denkleminde yerine koyarak x'i bulabiliriz. x = 1 + 1, yani x = 2 olur. İşte çözümümüz: x=2, y=1.
- Yok Etme (Yoksunlaştırma) Yöntemi
Bu yöntemde ise, iki denklemdeki bilinmeyenlerden birinin katsayılarını eşitleyerek veya zıt işaretli hale getirerek o bilinmeyeni yok etmeye çalışırız. Yukarıdaki örneğe geri dönelim:
- Denklem 1: 2x + 3y = 7
- Denklem 2: x - y = 1
Şimdi, diyelim ki x'leri yok etmek istiyoruz. Denklem 2'nin tamamını -2 ile çarparsak ne olur?
-2(x - y) = -2(1) =>-2x + 2y = -2
Şimdi bu yeni denklemi (Denklem 2') ilk denklemle alt alta toplarız:
(2x + 3y = 7) + (-2x + 2y = -2)
x'ler birbirini götürür:
(2x - 2x) + (3y + 2y) = (7 - 2)
5y = 5
Yine y = 1 bulduk. Sonrası yerine koyma yöntemiyle aynı. Y'yi yerine koyup x'i bulursun. Deneyimlerime göre, hangi yöntemin daha kolay olacağı denklemlerin yapısına göre değişir. Bazen bir denklemden bir bilinmeyeni çekmek çok zor olabilir, o zaman yok etme yöntemi daha mantıklı oluyor.
Pratik İpuçları ve Öneriler
Bu denklemlerle haşır neşir olurken aklında bulunsun:
- Sadeleştirme her şeydir: Denklemleri çözmeye başlamadan önce, varsa ortak bölenlerle sadeleştirmek işini çok kolaylaştırır. Örneğin, 4x + 6y = 10 gibi bir denklem varsa, her terimi 2'ye bölerek 2x + 3y = 5 haline getirebilirsin.
- İşaretlere dikkat: Özellikle yok etme yönteminde eksileri artı yapmak veya tam tersi durumlar çok kritiktir. Bir eksi işareti her şeyi değiştirebilir. Dikkatli olmalısın.
- Sağlamasını yap: Bulduğun x ve y değerlerini orijinal denklemlerine yerine koyarak kontrol et. Her iki denklem de sağlıyorsa, doğru çözümü bulmuşsun demektir. Bu, gereksiz zaman kaybını önler.
- Grafiksel yorum: Birinci dereceden iki bilinmeyenli her denklem, koordinat düzleminde bir doğru belirtir. İki denklemli bir sistemin çözümü ise bu iki doğrunun kesiştiği noktadır. Bu bilgiyi görselleştirmek bazen problemi daha iyi anlamanı sağlar. Eğer doğrular kesişmiyorsa (paralelse) çözüm yoktur, eğer aynı doğru üzerindeyse sonsuz çözüm vardır.
Bu denklemler aslında hayatın içinde pek çok yerde karşımıza çıkıyor. Bir ürünün maliyetini, farklı tarifelerdeki faturaları veya yolculuk sürelerini hesaplarken bile bu temel matematiksel araçları kullanıyoruz. Alışkanlık kazandıkça, bu denklemlerin ne kadar kullanışlı olduğunu daha iyi göreceksin.