🗞️ Manisa Haber

Matematik kök nasıl bulunur?

19 Haziran 2025 Manisa Haber

Kök Bulmanın Pratiği: İşini Kolaylaştıracak Yöntemler

Matematikte kök bulmak, özellikle sayıların büyük ve tam kare olmayan durumlarında biraz göz korkutucu gelebilir. Ama doğru yöntemlerle bu iş sanıldığı kadar karmaşık değil. Deneyimlerime göre, kök bulma mantığını kavradıktan sonra elinle de bazılarını rahatlıkla çözebilirsin.

Tam Kareyi Yakalama Sanatı

Bir sayının karekökünü bulurken ilk bakman gereken şey, o sayının bir tam kare olup olmadığıdır. Tam kare, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren bir tam sayıdır. Örneğin, 4 bir tam karedir çünkü 2 x 2 =

  1. Bu durumda √4 = 2'dir. Benzer şekilde, 9 (3 x 3), 16 (4 x 4), 25 (5 x 5) gibi sayılar da tam karelerdir.

Örnekler:

  • √9 = 3
  • √25 = 5
  • √81 = 9
  • √144 = 12

Eğer bulmaya çalıştığın sayının tam kare olup olmadığından emin değilsen, bu sayının hangi iki ardışık tam karenin arasında olduğunu düşün. Örneğin, √50'yi ele alalım. 7 x 7 = 49 ve 8 x 8 = 64 olduğunu biliyoruz. 50, 49 ile 64 arasında olduğuna göre, √50'nin değeri de 7 ile 8 arasında olacaktır.

Asal Çarpanlara Ayırma ile Kök Alma

Daha karmaşık sayılarda veya tam kare olmayan durumlarda asal çarpanlara ayırma yöntemi hayat kurtarır. Bu yöntemde, sayıyı en küçük asal sayılardan başlayarak çarpanlarına ayırırsın. Ardından, karekökten çıkabilen çiftleri belirlersin.

Nasıl mı çalışıyor? Gel bir örnek yapalım:

Örnek: √72'yi Bulalım

  1. 72'yi asal çarpanlarına ayıralım:
    • 72 / 2 = 36
    • 36 / 2 = 18
    • 18 / 2 = 9
    • 9 / 3 = 3
    • 3 / 3 = 1
  2. Bu durumda 72'nin asal çarpanları: 2 x 2 x 2 x 3 x 3
  3. Karekökten çıkabilen çiftleri gruplayalım: (2 x 2) x 2 x (3 x 3)
  4. Çiftleri karekök dışına çıkaralım: 2 ve
    1. İçeride kalan ise 2.
  5. Sonuç: 2 x 3 x √2 = 6√2

Bu yöntem, hem kökün değerini tahmin etmene hem de sadeleştirilmiş halini bulmana yardımcı olur. Deneyimlerime göre, bu yöntemi birkaç kez uygulayınca mantığı iyice oturuyor.

Tahmin ve İyileştirme (Newton Yöntemi Gibi Yaklaşımlar)

Eğer elinde hesap makinesi yoksa ve bir sayının yaklaşık karekökünü bulmak istiyorsan, tahmin ve iyileştirme yöntemleri oldukça kullanışlıdır. Newton'un kök bulma yöntemi gibi algoritmalar aslında bu mantığa dayanır.

Basitçe şöyle yapabilirsin:

  1. Bulmak istediğin kök için bir başlangıç tahmini yap. Diyelim ki √10'u bulmak istiyorsun. 3 x 3 = 9 olduğu için ilk tahminin 3 olsun.
  2. Tahminini sayıyı bölerek iyileştir. 10 / 3 = 3.33 (yaklaşık)
  3. Şimdi bulduğun bu iki sayının (3 ve 3.33) ortalamasını al: (3 + 3.33) / 2 = 3.165
  4. Bu yeni sayıyı (3.165) kullanarak adımı tekrarlayabilirsin. 10 / 3.165 ≈ 3.159
  5. Tekrar ortalamayı al: (3.165 + 3.159) / 2 ≈ 3.162

Gördüğün gibi, her adımda gerçek değere daha çok yaklaşıyorsun. Bu yöntem, özellikle bilim ve mühendislikte karmaşık kök hesaplamaları için temel oluşturur. Senin için ise basit karekökler için bir pratik egzersizi olabilir.

Kök Kısaltma ve Karekök İçindeki Sayıları Düzenleme

Bazen kök içindeki sayıyı daha sade bir hale getirmek de kök bulmanın bir parçasıdır. Bu, genellikle kök içindeki en büyük tam kareyi dışarı çıkarmakla yapılır.

Örnek: √18 ve √50'yi Sadeleştirelim

  • √18: 18'in çarpanları arasında en büyük tam kare 9'dur (çünkü 9 x 2 = 18). Bu durumda √18 = √(9 x 2) = √9 x √2 = 3√2
  • √50: 50'nin çarpanları arasında en büyük tam kare 25'tir (çünkü 25 x 2 = 50). Bu durumda √50 = √(25 x 2) = √25 x √2 = 5√2

Bu sadeleştirme, özellikle toplama ve çıkarma işlemlerinde çok işine yarayacaktır. Örneğin, √18 + √50 işlemini yaparken, önce sadeleştirerek 3√2 + 5√2 = 8√2 sonucuna ulaşırsın. Doğrudan √18 + √50 demek yerine bu sadeleştirme işini kolaylaştırır.