🗞️ Manisa Haber

Pisagor üçgeni nasıl bulunur?

18 Haziran 2025 Manisa Haber

Pisagor Üçgenini Bulma Yöntemleri

Pisagor üçgeni dediğimizde aklımıza hemen o meşhur

a² + b² = c²

formülü geliyor. Bu denklem, dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi anlatır. Peki, bu üçgenleri nasıl bulacağız, somut olarak nasıl üreteceğiz? Deneyimlerime göre bunu yapmanın birkaç pratik yolu var.

Temel Pisagor Üçlülerini Tanımak ve Üretmek

En basitinden başlayalım. Bazı üçgenler var ki kenar uzunlukları tam sayıdır ve Pisagor teoremini sağlarlar. Bunlara "temel Pisagor üçlüleri" diyoruz. En bilineni 3, 4, 5 üçgenidir. Kontrol edelim:

3² + 4² = 9 + 16 = 25

ve

5² = 25

. Tamamdır!

Bu temel üçlüleri kullanarak yeni üçgenler üretebiliriz. Eğer bir Pisagor üçgeninin tüm kenarlarını aynı sayıyla çarparsanız, elde ettiğiniz yeni üçgen de bir Pisagor üçgeni olur.

* Örnek: 3, 4, 5 üçgenini 2 ile çarpalım:

* 3 x 2 = 6

* 4 x 2 = 8

* 5 x 2 = 10

Bu da bir Pisagor üçgenidir. Kontrol edelim:

6² + 8² = 36 + 64 = 100

,

10² = 100

. Gördüğün gibi işe yarıyor.

* Başka bir örnek: 3, 4, 5 üçgenini 3 ile çarpalım:

* 3 x 3 = 9

* 4 x 3 = 12

* 5 x 3 = 15

Bu da bir Pisagor üçgenidir:

9² + 12² = 81 + 144 = 225

,

15² = 225

.

Diğer temel üçlüler de şunlardır:

* 5, 12, 13 (5² + 12² = 25 + 144 = 169, 13² = 169)

* 8, 15, 17 (8² + 15² = 64 + 225 = 289, 17² = 289)

* 7, 24, 25 (7² + 24² = 49 + 576 = 625, 25² = 625)

Bu temel üçlüleri ezberlemek sana çok zaman kazandırır.

Euclid'in Formülü ile Üretim

Temel üçlüleri ezberlemek yerine, istediğin Pisagor üçgenlerini üretebileceğin genel bir formül var: Euclid'in formülü. Bu formüle göre,

m

ve

n

herhangi iki pozitif tam sayı olmak üzere (burada

m > n

olmalı), şu kenar uzunluklarına sahip bir Pisagor üçgeni bulursun:

*

a = m² - n²

*

b = 2mn

*

c = m² + n²

Bu formülü kullanarak pek çok farklı Pisagor üçgeni oluşturabilirsin.

* Deneyelim: m = 2, n = 1 alalım.

* a = 2² - 1² = 4 - 1 = 3

b = 2 2 * 1 = 4

* c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

İşte yine 3, 4, 5 üçgeni!

* Başka bir örnek: m = 3, n = 2 alalım.

* a = 3² - 2² = 9 - 4 = 5

b = 2 3 * 2 = 12

* c = 3² + 2² = 9 + 4 = 13

Bu da 5, 12, 13 üçgeni!

* Daha büyük sayılarla: m = 4, n = 1 alalım.

* a = 4² - 1² = 16 - 1 = 15

b = 2 4 * 1 = 8

* c = 4² + 1² = 16 + 1 = 17

Bu da 8, 15, 17 üçgeni!

Önemli Not: Euclid formülünden elde ettiğin üçlü, eğer

m

ve

n

aralarında asal ise (yani en büyük ortak bölenleri 1 ise) ve biri çift, diğeri tek ise, o zaman bu "ilkel" bir Pisagor üçgenidir. Eğer bu koşullar sağlanmıyorsa, elde ettiğin üçgen ilkel olmayabilir ama yine de bir Pisagor üçgenidir.

Bir Üçgenin Pisagor Üçgeni Olup Olmadığını Anlama

Elinde belirli kenar uzunlukları olan bir üçgen varsa ve bunun dik üçgen olup olmadığını anlamak istiyorsan, yine Pisagor teoremini kullanacaksın.

  1. Üçgenin kenar uzunluklarını belirle. En uzun kenarı hipotenüs (

    c

    ) olarak kabul et. Diğer iki kenar ise

    a

    ve

    b

    olur.
  2. Küçük kenarların karelerini topla:

    a² + b²

    .
  3. En uzun kenarın karesini hesapla:

    c²

    .
  4. Eğer

    a² + b²

    sonucu

    c²

    sonucuna eşitse, o zaman bu bir Pisagor üçgenidir ve dik açısı

    c

    kenarının karşısındadır.

* Örnek: Kenarları 7, 24, 25 olan bir üçgenin Pisagor üçgeni olup olmadığını kontrol edelim.

* En uzun kenar

  1. Yani c =

25.

* Diğer kenarlar a = 7 ve b =

24.

* a² + b² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625

* c² = 25² = 625

Sonuçlar eşit olduğu için, 7, 24, 25 kenarlarına sahip bir üçgen bir Pisagor üçgenidir.

Pratik İpucu: Eğer kenar uzunlukları büyükse, önce hepsini en küçük ortak bölenlerine indirgeyerek kontrolü kolaylaştırabilirsin. Mesela 6, 8, 10 üçgenini kontrol etmek yerine, 2'ye bölüp 3, 4, 5 üçgenini kontrol etmek daha hızlıdır. Eğer 3, 4, 5 bir Pisagor üçgeniyse, 6, 8, 10 de Pisagor üçgenidir.

Bu yöntemlerle hem Pisagor üçgenlerini anlayabilir hem de istediğin boyutlarda olanları kendin üretebilirsin. Başarılar!