🗞️ Manisa Haber

Aritmetik dizi toplamı nasıl bulunur?

17 Haziran 2025 Manisa Haber

Aritmetik Dizilerin Toplamını Bulmak: İşte Püf Noktaları

Aritmetik dizilerin toplamını bulmak karmaşık görünse de, aslında oldukça mantıklı ve kolay bir mantığa dayanır. Deneyimlerime göre, bu formülleri anladığında matematiğin bir sürü kapısını aralayacaksın.

Formülün Arkasındaki Mantık: Çiftler Halinde Toplama

Aritmetik dizinin temel mantığı, her terim arasında sabit bir fark olmasıdır. Örneğin, 2, 5, 8, 11, 14... dizisinde terimler arasındaki fark hep

  1. Bu dizinin toplamını bulurken kullanacağımız en temel yöntemlerden biri, dizinin ilk ve son terimini birleştirerek ortalama bir değer yakalamaktır.

Düşün bakalım: Birinci terim ile son terimi topladın. İkinci terim ile sondan ikinci terimi topladın. Ve fark ettin ki, bu toplamlar hep aynı! Mesela 2, 5, 8, 11, 14 dizisinde:

  • 2 + 14 = 16
  • 5 + 11 = 16
  • 8 + 8 = 16 (Ortadaki terim kendisiyle eşleşir)

Bu durum, dizinin eleman sayısı çift de olsa tek de olsa geçerlidir. Bu gözlem, sana toplamı bulmanın anahtarını verir.

İki Temel Formül ve Ne Zaman Kullanmalı?

Aritmetik dizilerin toplamını bulmak için iki ana formül vardır. Hangisini kullanacağın, elindeki bilgilere bağlıdır.

Formül 1: İlk Terim ve Son Terim Biliniyorsa

Eğer dizinin ilk terimini (genellikle a₁ ile gösterilir) ve son terimini (genellikle an ile gösterilir) biliyorsan ve dizide kaç terim olduğunu (n) da biliyorsan, işin çok kolay:

Toplam (Sn) = (n / 2) * (a₁ + an)

Örnek verelim: 3, 7, 11, 15, 19 dizisinin toplamını bulalım.

  • İlk terim (a₁) = 3
  • Son terim (an) = 19
  • Terim sayısı (n) = 5

Formülü uygularsak: S5 = (5 / 2) (3 + 19) = (5 / 2) 22 = 5 * 11 =

  1. Yani bu dizinin toplamı 55.

Formül 2: İlk Terim ve Ortak Fark Biliniyorsa

Bazen son terimi bilmeyebilirsin ama dizinin ilk terimini (a₁) ve terimler arasındaki farkı (d) biliyorsundur. Bu durumda önce dizinin kaçıncı terimi olduğunu bulman gerekir ki, bunu da ikinci formülle yapabilirsin:

an = a₁ + (n - 1) * d

Bu formülle n'yi bulduktan sonra, ilk formüle geri dönüp toplamı hesaplayabilirsin. Ya da daha pratik bir yol olarak, ilk formüldeki an yerine bu formülü yerleştirerek tek bir formülde de çözebilirsin:

Toplam (Sn) = (n / 2) [2a₁ + (n - 1) d]

Örnek: İlk terimi 4, ortak farkı 6 olan ve

  1. terimini de içeren bir aritmetik dizinin toplamını bulalım.

  • İlk terim (a₁) = 4
  • Ortak fark (d) = 6
  • Terim sayısı (n) = 8

İkinci formülü kullanalım: S8 = (8 / 2) [2 4 + (8 - 1) 6] = 4 [8 + (7 6)] = 4 [8 + 42] = 4 * 50 = 200.

Pratik İpuçları ve Öneriler

Bu formülleri kullanırken dikkat etmen gereken birkaç nokta var:

  • Dizinin türünü doğru belirle: Toplama yapacağın dizinin gerçekten aritmetik dizi olduğundan emin ol. Yani terimler arasındaki farkın sabit olduğunu kontrol et. Aksi takdirde bu formüller işe yaramaz.
  • Terim sayısını doğru say: Bazen dizilerde terim sayısını (n) karıştırabilirsin. Eğer dizinin ilk ve son terimini biliyorsan, n = (son terim - ilk terim) / ortak fark + 1 formülüyle de n'yi kontrol edebilirsin.
  • İşlem önceliğine dikkat: Formülleri uygularken işlem önceliğine (parantez içi, çarpma/bölme, toplama/çıkarma) dikkat edersen hatalardan kaçınırsın.
  • Negatif sayılara dikkat: Eğer dizide negatif sayılar varsa, toplama ve çıkarma işlemlerinde dikkatli ol. Negatif sayılarla işlem yapmak bazen kafa karıştırıcı olabilir.

Deneyimlerime göre, bu formülleri birkaç kere uyguladığında ve farklı örneklerle çalıştığında, aritmetik dizilerin toplamını bulmak sana son derece kolay gelecektir. Bol pratik yap!