Matematikte önerme ne demek?

Matematikte Önerme Nedir?

Matematikte önerme dediğimiz şey, aslında basit bir yargı cümlesidir. Ama öyle her önerme matematiksel olmaz. Matematiksel bir önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak bilinebilen bir ifadedir. Yani havada kalan, yoruma açık şeyler matematikte önerme olmaz.

Deneyimlerime göre, çoğu zaman önermeleri yanlış anlayabiliyoruz. Mesela, "Ali çok yakışıklı" bir önerme değil. Çünkü Ali'nin yakışıklılığı kişiden kişiye değişir, nesnel bir ölçüsü yoktur. Ama "2 + 2 = 4" bir önermedir. Bu ifade kesinkes doğrudur. Aynı şekilde, "Ay Dünya'nın etrafında dönmez" de bir önermedir, ancak yanlıştır.

Önermelerin özelliği, sadece tek bir doğruluk değerine sahip olmalarıdır: ya doğru (True) ya da yanlış (False). Bu çift değerlilik, mantıksal çıkarımlar yapmamızı sağlar.

Önermelerin Yapı Taşları: Bileşik Önermeler ve Mantıksal Bağlaçlar

Tek başına bir önerme bazen yeterli olmaz. İşte burada bileşik önermeler devreye giriyor. Birden fazla basit önermeyi, bazı mantıksal bağlaçlarla birleştirerek daha karmaşık ifadeler oluştururuz. En sık kullandığımız bağlaçlar şunlardır:

• "ve" (conjunction - ∧): İki önermenin de doğru olması durumunda bileşik önerme doğrudur. Örneğin: "Bugün hava güneşli ve ders çalışacağım." Bu önermenin doğru olması için hem havanın güneşli olması hem de ders çalışıyor olmam gerekir. Bir tanesi bile yanlışsa, bileşik önerme yanlıştır.
• "veya" (disjunction - ∨): İki önermeden en az birinin doğru olması durumunda bileşik önerme doğrudur. Örneğin: "Sinemaya gideceğim veya evde kitap okuyacağım." Burada sinemaya gitsem de evde kitap okusam da veya ikisini birden yapsam da önerme doğru kabul edilir. İkisinin de yanlış olduğu tek durumda bileşik önerme yanlış olur.
• "ise" (implication - →): Bu biraz daha dikkat gerektirir. "p ise q" önermesi (p → q), p doğru iken q yanlış olduğunda yanlıştır. Diğer tüm durumlarda doğrudur. Örneğin: "Eğer yağmur yağarsa, ise şemsiye alacağım." Yağmur yağıyor (p doğru) ama şemsiye almıyorsan (q yanlış), bu önerme yanlış olur. Ama yağmur yağmıyorsa (p yanlış), şemsiye alsan da almasan da önerme doğrudur.
• "ancak ve ancak" (biconditional - ↔): İki önermenin doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda doğrudur. Yani iki önerme de doğruysa veya iki önerme de yanlışsa bu bileşik önerme doğrudur. "Bu sayının çift olması ancak ve ancak bu sayının 2'ye tam bölünmesidir." Bu önerme her zaman doğrudur.

Bu bağlaçları kullanarak milyonlarca farklı önerme türetmek mümkün. Matematiksel ispatların temelinde de bu bileşik önermeler ve onların doğruluk tabloları yatar.

Önermelerin Değeri: Doğruluk Değerleri ve Tabloları

Bir önermenin ne zaman doğru, ne zaman yanlış olduğunu anlamak için doğruluk tabloları kullanırız. Deneyimlerime göre, bu tablolar konunun mantığını kavramak için çok önemlidir.

Örneğin, "p ve q" (p ∧ q) önermesinin doğruluk tablosu şöyledir:

Burada D = Doğru, Y = Yanlış anlamına gelir. Gördüğün gibi, "ve" bağlacında sadece p ve q ikisi de doğru olduğunda sonuç doğru oluyor.

Bu tablolar, karmaşık bileşik önermelerin bile doğruluk değerini sistematik bir şekilde bulmamızı sağlar. Bu da matematikte kesinliğin ve tutarlılığın temelini oluşturur.

Neden Önemli? Pratik Kullanımı ve İpuçları

Peki, tüm bunları neden öğreniyoruz? Matematikte önermeler sadece soyut bir kavram değil.

• Problem Çözme: Karşına çıkan matematik problemlerini önermeler şeklinde ifade edip mantıksal çıkarımlar yaparak çözüme ulaşabilirsin. Sorunun kilit noktalarını önermelerle belirlemek, nereye odaklanman gerektiğini gösterir.
• İspat Yapma: Matematiksel teoremleri veya özdeşlikleri kanıtlamak için önermeler ve mantıksal bağlaçlar kullanılır. Bir ispat, doğru kabul edilen önermelerden başlayıp adım adım yeni doğru önermeler türetme sürecidir.
• Bilgisayar Bilimi: Programlama dillerindeki koşullu ifadeler (if-else) ve mantıksal operatörler doğrudan önermeler mantığına dayanır.

Öneri: Yeni bir matematiksel kavramla karşılaştığında, onu bir önerme olarak ifade etmeye çalış. Eğer bu önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu sorgulamak sana mantıksal bir yol haritası çizer. Bol bol örnek çözerek ve doğruluk tablolarını elle çizerek bu becerini geliştirebilirsin.