Kesirlerde bölme işlemi yaparken neden ters çevrilip çarpılır?

Kesirleri Bölerken Neden Ters Çevirip Çarpıyoruz?

Kesirlerde bölme işlemi, ilk başta biraz kafa karıştırıcı gelebilir. Neden bir kesri diğerine bölerken o ikinci kesri alıp ters çevirip çarpıyoruz? Deneyimlerime göre bunun aslında çok mantıklı bir sebebi var ve işin sırrı, bölme işleminin özünde gizli.

Bölme: Kaç Tane Olduğunu Bulmak

Öncelikle bölme işleminin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir sayıyı başka bir sayıya bölmek, aslında ilk sayıda ikinciden kaç tane olduğunu bulmaktır. Örneğin, 10'u 2'ye bölmek, 10'un içinde kaç tane 2 olduğunu bulmaktır. Cevap 5'tir, çünkü 10'un içinde beş tane 2 var (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10).

Şimdi bunu kesirlere uyarlayalım. Diyelim ki 1/2'yi 1/4'e bölmek istiyoruz. Bu şu anlama geliyor: 1/2'nin içinde kaç tane 1/4 var?

Şöyle bir düşünelim: Bir bütün, 4 tane 1/4'ten oluşur, değil mi? Yani bir bütün, 4 tane çeyrekten oluşur. Eğer elimizde yarım bütün (1/2) varsa, bu yarım bütünün içinde kaç tane çeyrek (1/4) olur? Cevap 2'dir. Çünkü yarım bütün, iki tane çeyrekten oluşur (1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2).

Yani, 1/2 : 1/4 = 2 sonucunu elde ederiz.

Şimdi gel gelelim o meşhur "ters çevirip çarpma" kuralına. Eğer 1/2'yi 1/4'e bölerken, 1/4'ü ters çevirip (yani 4/1 yapıp) 1/2 ile çarparsak ne olur?

1/2 * 4/1 = 4/2 = 2

Gördüğün gibi, sonuç aynı! Neden mi? Çünkü bölme işlemini ters çevirip çarpmak, aslında "birim kesrin içinde kaç tane olduğunu bulma" mantığını koruyor.

Ters Çevirip Çarpmak Neden İşe Yarıyor?

Bir kesri bir sayıya bölmek, o sayının çarpmaya göre tersiyle çarpmaya denktir. Çarpmaya göre tersi demek, kesrin payı ile paydasının yer değiştirmesi demek.

Şimdi şöyle bir örnek verelim: 3/4'ü 1/2'ye bölmek istiyoruz. Bu ne demek? 3/4'ün içinde kaç tane 1/2 var?

Bir bütün, 2 tane 1/2'den oluşur. Yarım bütün (1/2) ise, bir tane 1/2'den oluşur. Çeyrek bütün (1/4) ise yarım bütünün yarısıdır. Dolayısıyla, 1/4'ün içinde 1/2'den yarım tane vardır (yani 1/2).

O zaman 3/4'ün içinde kaç tane 1/2 olduğunu bulmak için, 3 tane çeyrek bütünlük bir yapı düşünelim. Her çeyrek bütünün içinde 1/2'den yarım tane varsa, 3 çeyrek bütünün içinde de 3 * (1/2) = 3/2 kadar yani 1.5 tane 1/2 vardır.

Şimdi kuralımızı uygulayalım: 3/4 : 1/2 = 3/4 * 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1.

1. Yine aynı sonucu bulduk!

Pratik İpucu: Bölünen kesrin (ilk kesir) aynen kalır, bölen kesir (ikinci kesir) ters çevrilir ve sonra bu iki kesir çarpılır. a/b : c/d = a/b * d/c

Neden Bu Yöntem Daha Kolay?

Kesirlerde bölme işlemi yaparken, paydaları eşitlemek de bir yöntemdir. Ancak bu yöntem, özellikle paydalar farklı olduğunda veya sayılar karmaşıklaştığında daha zahmetli hale gelebilir. Ters çevirip çarpma yöntemi ise daha hızlı ve pratiktir.

Örneğin, 5/6'yı 2/3'e bölmek istediğimizi varsayalım.

Paydaları Eşitleme Yöntemi:

Önce paydaları eşitleriz. 6 ve 3'ün en küçük ortak katı 6'dır.

5/6 zaten duruyor.

2/3'ü 6 yapmak için pay ve paydasını 2 ile çarparız: (22)/(32) = 4/

6.

Şimdi bölme işlemi şöyle olur: 5/6 : 4/

6.

Kesirleri bölerken paydalar aynıysa, sadece payları bölebiliriz: 5 : 4 = 5/4.

Ters Çevirip Çarpma Yöntemi:

5/6 : 2/3 = 5/6 * 3/2

= (5 3) / (6 2)

= 15 / 12

Şimdi bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 3'e bölünebilir:

15/3 = 5

12/3 = 4

Sonuç: 5/4.

Gördüğün gibi, ters çevirip çarpma yöntemi, özellikle sadeleştirme aşamasında daha az adım gerektiriyor ve hataya daha az açık. Deneyimlerime göre, bu yöntem kesirlerle işlem yapmayı çok daha kolaylaştırıyor.

Kesirlerde Bölme Yaparken Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Sıfıra Bölme: Bir kesri sıfıra bölemezsin. Eğer bölen kesir 0/x şeklinde ise, bu işlem tanımsızdır.
• Sadeleştirme: Çarpmadan önce veya sonra sadeleştirme yapabilirsin. Bu, işlemleri daha da kolaylaştırır. Örneğin, 5/6 3/2 işleminde, 6 ile 3'ü sadeleştirip 2 ve 1 yapabilirsin: 5/2 1/2 = 5/4.
• Tam Sayılar: Bir tam sayıyı kesre bölerken, tam sayıyı paydası 1 olan bir kesir olarak düşünebilirsin. Örneğin, 5 : 1/2 = 5/1 : 1/2 = 5/1 * 2/1 =
  1. Yani 5'in içinde 1/2'den 10 tane var.

Bu mantığı kavradığında, kesirlerde bölme işlemi senin için korkutucu bir işlem olmaktan çıkacak ve hatta keyifli hale gelecektir.