Grafikte örten fonksiyon olduğunu nasıl anlarız?
İçindekiler
Matematikte bir fonksiyonun örten (sürjektif) olup olmadığını anlamak, fonksiyonun görüntü kümesinin değer kümesine eşit olup olmadığını belirlemekle ilgilidir. Yani, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesinde en az bir karşılığı olup olmadığını kontrol ederiz. Grafikle bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak ise oldukça görsel ve pratik bir yöntemdir.
Örten Fonksiyon Nedir?
Öncelikle örten fonksiyon kavramını netleştirelim. Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her eleman için tanım kümesinde bir karşılık bulunmalıdır. Başka bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır. Eğer değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa, o fonksiyon örtendir.
Grafikle Örten Fonksiyonu Anlama Yöntemi
Grafikle bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için yatay çizgi testi (horizontal line test) kullanılır. Bu test şu şekilde uygulanır:
- Grafiği verilen fonksiyonun değer kümesini belirleyin.
- Değer kümesini temsil eden yatay eksende (genellikle y ekseni) hayali yatay çizgiler çizin.
- Eğer çizdiğiniz her yatay çizgi, fonksiyonun grafiğini en az bir noktada kesiyorsa, o fonksiyon örtendir.
Eğer herhangi bir yatay çizgi grafiği kesmiyorsa, bu değer kümesinde karşılığı olmayan bir eleman olduğu anlamına gelir ve fonksiyon örten değildir.
Pratik İpuçları ve Örnekler
Örneğin, tüm reel sayılardan tüm reel sayılara tanımlı bir f(x) = x³ fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun grafiği sürekli artan bir eğri şeklindedir ve yatay eksende çizilen her çizgi grafiği kesinlikle keser. Dolayısıyla bu fonksiyon örtendir.
Ancak, tüm reel sayılardan pozitif reel sayılara tanımlı bir f(x) = x² fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyonun grafiği bir parabol şeklindedir ve y ekseninin negatif tarafında çizilen hiçbir yatay çizgi grafiği kesmez. Bu nedenle bu fonksiyon örten değildir, çünkü negatif reel sayıların karşılığı yoktur.
Özetle, bir fonksiyonun grafiğine bakarak örten olup olmadığını anlamak için yatay çizgi testini kullanabilirsiniz. Değer kümesindeki her elemanın grafikte bir karşılığı olup olmadığını kontrol ederek, fonksiyonun örten olup olmadığına kolayca karar verebilirsiniz.