Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100 den küçük kaç doğal sayı vardır?

Asal Çarpanları 2 ve 7 Olan 100'den Küçük Doğal Sayılar

Merhaba! Asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan, yani bu iki sayının çarpımıyla oluşan ve 100'den küçük doğal sayıları bulmak istiyorsun, değil mi? Deneyimlerime göre bu tür sorular, temel matematik bilgini pekiştirmek için harika bir yol. Hemen konuya girelim.

Bir Sayının Asal Çarpanları Ne Demek?

Bir doğal sayıyı, kendisi dışında hiçbir doğal sayıya bölünemeyen asal sayıların çarpımı şeklinde yazabiliriz. İşte bu asal sayılara o sayının asal çarpanları denir. Örneğin, 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür çünkü 12 = 2 x 2 x 3'tür.

Bizim aradığımız sayılar ise, asal çarpanları SADECE 2 ve 7 olan sayılar. Yani bu sayılar, 2'nin belirli bir kuvveti ile 7'nin belirli bir kuvvetinin çarpımı şeklinde olmalı. Başka hiçbir asal sayı bu sayıyı bölmemeli.

Sayıları Nasıl Bulacağız?

Bu tür sayılar, 2a * 7b formunda olacaktır. Burada 'a' ve 'b' negatif olmayan tam sayılardır (yani 0, 1, 2, 3... gibi). Bizim yapmamız gereken, bu çarpımın sonucunun 100'den küçük olmasını sağlayacak 'a' ve 'b' değerlerini sistemli bir şekilde denemek.

Şöyle bir yol izleyebiliriz:

  • 7'nin Kuvvetlerini Sabitleyelim: Önce 7'nin kuvvetlerini tek tek alıp, bu kuvvetle çarpılacak 2'nin kuvvetlerinin 100'den küçük sonucunu bulalım.
  • 2'nin Kuvvetlerini Artıralım: Sonra 2'nin kuvvetlerini artırarak yine 100'den küçük sonuçları bulmaya çalışalım.

Adım Adım Sayıları Bulalım:

İlk Durum: 70 = 1

Bu durumda sayılarımız 2a * 1 şeklinde olacak. Yani sadece 2'nin kuvvetleri.

  • 20 = 1 (Bu sayı 100'den küçük ve asal çarpanı yok, ama tanım gereği 2 ve 7'nin kuvveti olarak düşünülebilir, yani 2070 şeklinde. Bazı kaynaklar 1'i asal çarpanı olmayan olarak da alabilir, bu bağlamda 2070 bunu kapsadığı için dahil ediyoruz.)
  • 21 = 2
  • 22 = 4
  • 23 = 8
  • 24 = 16
  • 25 = 32
  • 26 = 64
  • 27 = 128 (Bu 100'den büyük, o yüzden almıyoruz.)

Bu durumda 7 tane sayı bulduk: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

İkinci Durum: 71 = 7

Şimdi sayılarımız 2a * 7 şeklinde olacak.

  • 20 7 = 1 7 = 7
  • 21 7 = 2 7 = 14
  • 22 7 = 4 7 = 28
  • 23 7 = 8 7 = 56
  • 24 7 = 16 7 = 112 (Bu 100'den büyük, almıyoruz.)

Bu durumda 4 tane yeni sayı bulduk: 7, 14, 28, 56.

Üçüncü Durum: 72 = 49

Şimdi sayılarımız 2a * 49 şeklinde olacak.

  • 20 49 = 1 49 = 49
  • 21 49 = 2 49 = 98
  • 22 49 = 4 49 = 196 (Bu 100'den büyük, almıyoruz.)

Bu durumda 2 tane yeni sayı bulduk: 49, 98.

Dördüncü Durum: 73 = 343

Bu zaten 100'den büyük, dolayısıyla 2'nin herhangi bir kuvvetiyle çarpsak da sonuç 100'den büyük olacaktır. Bu yüzden bu ve sonraki 7'nin kuvvetleri için işlem yapmaya gerek yok.

Peki Kaç Tane Oldu?

Şimdiye kadar bulduğumuz sayıları toplayalım:

  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 (7 tane)
  • 7, 14, 28, 56 (4 tane)
  • 49, 98 (2 tane)

Toplamda 7 + 4 + 2 = 13 tane doğal sayı bulduk.

Özetle

Asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan 100'den küçük doğal sayılar şunlardır: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 49, 56, 64,

  1. Toplamda 13 tane!

Bu tür soruları çözerken, sayıyı oluşturan asal çarpanların kuvvetlerini sistematik olarak artırmak en etkili yol. Bir de hangi kuvvetin sonucu 100'ü aşmaya başlıyor, bunu takip etmek zaman kazandırır.