🗞️ Manisa Haber

Parçalı fonksiyon sürekli mi?

15 Haziran 2025 Manisa Haber

Parçalı Fonksiyonlar Sürekli midir? Hemen Cevaplayalım!

Parçalı fonksiyonlar söz konusu olduğunda akla ilk gelen soru: "Hocam bu sürekli mi?" İşte bu sorunun cevabı ve işin incelikleri burada.

Sürekliliğin Temel Kuralı: Üç Şartı Hatırla!

Bir fonksiyonun sürekli olması için üç temel şartı sağlaması gerekiyor, unutma. Bunlar parçalı fonksiyonlar için de geçerli.

  • Fonksiyonun tanım kümesinde olmalı: Yani fonksiyonun o noktadaki değeri mevcut olmalı. Parçalı fonksiyonlarda, kritik noktalarda (yani fonksiyonun değiştiği yerlerde) bu şartın sağlandığından emin olmalısın. Örneğin, $f(x) = \begin{cases} x+2 & x \le 3 \\ 5 & x > 3 \end{cases}$ fonksiyonunda $x=3$ noktasında fonksiyon tanımlı mı? Evet, $f(3) = 3+2 = 5$ olarak tanımlanmış. Bu ilk adım tamam.
  • Limit var olmalı: Fonksiyonun o noktadaki sağdan ve soldan limitleri birbirine eşit olmalı. İşte parçalı fonksiyonlarda en çok takıldığımız yer burası. Kritik nokta $c$ ise, $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$ olmalı. Örnek üzerinden gidersek, yukarıdaki fonksiyonda $x=3$ için bakalım:
    • Soldan limit: $\lim_{x \to 3^-} (x+2) = 3+2 = 5$
    • Sağdan limit: $\lim_{x \to 3^+} 5 = 5$

    Gördüğün gibi, limitler eşit. Bu şart da sağlandı.

  • Limit, fonksiyona eşit olmalı: Son şart ise ilk iki şartın birleşimi: fonksiyonun o noktadaki değeri, limitine eşit olmalı. Yani $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. Bizim örnekte, $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$ ve $f(3) = 5$. Dolayısıyla, bu fonksiyon $x=3$ noktasında süreklidir.

Kritik Noktalar: Tehlikeli Alanlar!

Parçalı fonksiyonlarda süreklilik denetimini yaparken asıl odaklanmamız gereken yerler, fonksiyonun tanımının değiştiği noktalardır. Diğer noktalarda fonksiyon zaten tek bir kurala bağlı olduğu için, eğer o kural kendi başına sürekliyse (ki genellikle polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar gibi temel fonksiyonlar süreklidir), o aralıklarda da süreklilik sorun olmaz. Asıl incelemeyi yapacağımız yer, işte bu kritik noktalar. Örneğin, $f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 2x-1 & x \ge 1 \end{cases}$ fonksiyonunu ele alalım. Kritik noktamız $x=1$. Bakalım üç şartı sağlıyor mu?

  • Tanımlılık: $f(1) = 2(1)-1 = 1$. Fonksiyon $x=1$ için tanımlı.
  • Limit:
    • Soldan limit: $\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$
    • Sağdan limit: $\lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1$

    Limitler eşit.

  • Eşitlik: Limit değeri 1, fonksiyon değeri de
    1. Eşitler.

Bu fonksiyon da $x=1$ noktasında süreklidir.

Parçalı Fonksiyonlarda Süreksizlik Nasıl Olur?

Deneyimlerime göre en sık karşılaşılan süreksizlik türleri şunlar:

  • Limitlerin Eşit Olmaması (Sıçrama Türü Süreksizlik): Kritik noktada sağdan ve soldan limitler farklıysa, orada bir "sıçrama" olur ve fonksiyon süreksizdur. Örneğin, $g(x) = \begin{cases} x+1 & x < 0 \\ x^2+2 & x \ge 0 \end{cases}$. $x=0$ noktasında:
    • Soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0+1 = 1$
    • Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} (x^2+2) = 0^2+2 = 2$

    Limitler 1 ve 2, eşit değiller. Bu fonksiyon $x=0$ noktasında süreksizdir.

  • Tanımsızlık veya Limit Yokken Fonksiyon Değeri Olması: Eğer fonksiyon kritik noktada tanımlı değilse veya limit varken fonksiyon değeri farklı bir yerde tanımlanmışsa (ya da tanımsızsa) da süreksizlik olur.

Özetle Ne Yapmalı? (Pratik İpuçları)

Bir parçalı fonksiyonun sürekli olup olmadığını anlamak için şu adımları izleyebilirsin:

  1. Kritik Noktaları Belirle: Fonksiyonun tanımlandığı aralıkların değiştiği noktaları bul. Bunlar senin inceleme alanların.
  2. Her Kritik Nokta İçin Üç Şartı Kontrol Et: O noktada fonksiyon tanımlı mı? Sağdan ve soldan limitler eşit mi? Limit, fonksiyon değerine eşit mi?
  3. Aradaki Aralıkları Göz Ardı Etme: Eğer fonksiyonun tek bir parçası süreksizliğe neden oluyorsa, bu durum genel sürekliliği etkiler. Ancak genellikle parçalı fonksiyonlarda ana mesele kritik noktalardır.

Unutma, her fonksiyon parçası kendi aralığında süreklilik gösterse bile, kritik noktalardaki uyum olmadan genel olarak sürekli diyemezsin.