Terim sayısı toplamı nasıl bulunur?

Terim Sayısı Toplamı Nasıl Bulunur?

Bir dizideki terim sayısını ve bu terimlerin toplamını bulmak, özellikle aritmetik ve geometrik dizilerde oldukça standart bir bilgi. Merak etme, karmaşık görünse de mantığını kavradıktan sonra oldukça kolay!

Aritmetik Dizilerde Terim Sayısı ve Toplam

Aritmetik dizi dediğimiz şey, ardışık terimler arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Örneğin, 2, 5, 8, 11, ... gibi. Buradaki ortak fark (d) 3’tür.

Terim Sayısını Bulma: Bir aritmetik dizide belirli bir değere ulaşmak için kaçıncı terim olduğunu bulmak isteyebilirsin. Bunun için genel terim formülünü kullanırız:

a_n = a_1 + (n-1)d

Burada:

• a_n: Bulmak istediğin terim (örneğin, 29’un kaçıncı terim olduğunu bulmak).
• a_1: Dizinin ilk terimi (bizim örneğimizde 2).
• n: Terim sayısı (aradığımız şey).
• d: Ortak fark (bizim örneğimizde 3).

Diyelim ki 2, 5, 8, ... dizisinde 29’un kaçıncı terim olduğunu bulmak istiyorsun. Formüle yerleştirelim:

29 = 2 + (n-1)3

Denklemle oynayarak n’i bulursun:

27 = (n-1)3

9 = n-1

n = 10

Yani 29, bu dizinin

1. terimidir.

Terim Toplamını Bulma: Belirli bir sayıya kadar olan terimlerin toplamını bulmak için de iki temel formül var. Genellikle ilki daha kullanışlıdır:

S_n = n/2 * (a_1 + a_n)

Burada:

• S_n: İlk n terimin toplamı.
• n: Terim sayısı (az önce bulduğumuz 10).
• a_1: İlk terim (2).
• a_n: Son terim (29).

Yukarıdaki örnek için:

S_10 = 10/2 * (2 + 29)

S_10 = 5 * 31

S_10 = 155

Demek ki, 2, 5, 8, ..., 29 dizisindeki ilk 10 terimin toplamı 155’tir.

Alternatif olarak, eğer son terimi bilmiyorsan ama ilk terimi, ortak farkı ve terim sayısını biliyorsan şu formülü kullanabilirsin:

S_n = n/2 * [2a_1 + (n-1)d]

Geometrik Dizilerde Terim Sayısı ve Toplam

Geometrik dizide ise ardışık terimler arasındaki oran sabittir. Örneğin, 3, 6, 12, 24, ... gibi. Buradaki ortak oran (r) 2’dir.

Terim Sayısını Bulma: Geometrik dizilerde genel terim şu şekildedir:

a_n = a_1 * r^(n-1)

Burada a_1 ilk terim, r ortak oran ve n terim sayısıdır. Diyelim ki 3, 6, 12, ... dizisinde 192’nin kaçıncı terim olduğunu bulmak istiyorsun. Formüle koyalım:

192 = 3 * 2^(n-1)

64 = 2^(n-1)

2^6 = 2^(n-1)

Üslü sayılarda tabanlar eşitse üstler de eşittir:

6 = n-1

n = 7

Yani 192, bu dizinin

1. terimidir.

Terim Toplamını Bulma: Geometrik dizilerde toplam formülü biraz daha farklıdır ve r'nin 1'den farklı olması gerekir. Eğer r = 1 olsaydı, tüm terimler aynı olurdu ve toplamı n * a_1 olurdu.

S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)

Veya eşdeğer olarak:

S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1)

Bu formülde n, terim sayısı; a_1, ilk terim ve r, ortak orandır. Örneğimizde a_1 = 3, r = 2 ve n = 7 idi. Toplamı bulalım:

S_7 = 3 * (2^7 - 1) / (2 - 1)

S_7 = 3 * (128 - 1) / 1

S_7 = 3 * 127

S_7 = 381

Yani, 3, 6, 12, ..., 192 dizisindeki ilk 7 terimin toplamı 381’dir.

Pratik İpuçları ve Önemli Notlar

• Verileri Kontrol Et: Formülleri kullanmadan önce dizinin aritmetik mi yoksa geometrik mi olduğunu kesin olarak anla. Ortak fark mı sabit, yoksa ortak oran mı? Bu en temel adım.
• Formülleri Ezberle, Ama Nedenini De Bil: Formülleri ezberlemek işini kolaylaştırır ama nerelerden geldiklerini anlamak, karşına çıkabilecek farklı problem tiplerinde sana özgüven verir. Özellikle aritmetik dizi toplamı için n/2 * (ilk + son) mantığı, terimleri çiftler halinde düşünmekten gelir.
• Rakamlara Dikkat: Özellikle geometrik dizilerde üslü sayılarla uğraşırken işlem hatalarına çok dikkat et. Bir 2’nin kuvvetini yanlış hesaplamak, sonucu tamamen değiştirebilir. 2^7’nin 128 olduğunu bilmek seni bir adım öne taşır.
• Kesirli ve Negatif Sayılar: Bu formüller kesirli veya negatif ortak fark/oran olan diziler için de geçerlidir. Formüllerin mantığı değişmez, sadece hesaplamalar biraz daha dikkat gerektirebilir.

Deneyimlerime göre, bu temel formülleri oturtunca, lise seviyesindeki veya üniversiteye giriş sınavlarındaki pek çok dizi sorusunu rahatlıkla çözebilirsin. Önemli olan formüllere hakim olmak ve sorudaki verileri doğru bir şekilde tanımak.